关于勾股定理的历史？

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1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成．这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体——毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献．邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明．它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理．在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理．

勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和．如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择．但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑．因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理．在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答．周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度．”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五．”即我们常说的勾三、股四、弦五．《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸．髀者，股也，正晷者，勾也．正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸．日益表南，晷日益长．候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔．由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里．

这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践．钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“……商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法．周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸．正北千里，影长一尺七寸．祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高．又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径．这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的．”由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的．

但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法．因为是毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明．虽然，毕达哥拉斯有不少杰出的证明，如利用反证法证明不是有理数，但最著名的就是证明勾股定理了．传说当他得到了这个定理时，非常的高兴，杀了一头牛作为牺牲献给天神．也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大了！

勾股定理是数学上有证明方法最多的定理——有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里．

汉朝的数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理．这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的．您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？（提示：考虑黑边框正方形的面积计算）

初中数学证明题的一般格式是怎样的？

近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是"20世纪最重大的数学成就"。

费尔马大定理的由来

故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道："任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。"

费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如xn ＋yn ＝zn 的方程，当n大于2时没有正整数解。

费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为"业余数学家之王"。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。

他酷爱数学，把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理。由于他思维敏捷，记忆力强，又具备研究数学所必须的顽强精神，所以，获得了丰硕的成果，使他跻身于17世纪大数学家之列。

艰难的探索

起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个"美妙证法"，但是谁也没有成功。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整数解。

因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费尔马大定理就完全证明了。n＝4的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。

在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4以后， 1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了。

其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法，引入了自己发明的"理想数"和"分圆数"的概念，指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。这样的数，在100以内，只有37、59、67三个。他还具体证明了当 n＝ 37、59、67时，方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整数解的。这就把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是成立的。库默尔"成批地"证明了定理的成立，人们视之为一次重大突破。1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章。

这一"长征"式的证法，虽然不断地刷新着记录，如 1992年更进到n＝1000000，但这不等于定理被证明。看来，需要另辟蹊径。

10万马克奖给谁

从费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费尔马大定理的人，布鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果。1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候，将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费尔马大定理的解答奖金。

哥庭根科学会宣布，奖金在100年内有效。哥庭根科学会不负责审查稿件。

10万马克在当时是一笔很大的财富，而费尔马大定理又是小学生都能听懂题意的问题。于是，不仅专搞数学这一行的人，就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民，都在钻研这个问题。在很短时间内，各种刊物公布的证明就有上千个之多。

当时，德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定，到 1911年初为止，共审查了111个"证明"，全都是错的。后来实在受不了沉重的审稿负担，于是它宣布停止这一审查鉴定工作。但是，证明的浪潮仍汹涌澎湃，虽然两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值，当初的10万马克折算成后来的马克已无多大价值。但是，热爱科学的可贵精神，还在鼓励着很多人继续从事这一工作。

姗姗来迟的证明

经过前人的努力，证明费尔马大定理取得了许多成果，但离定理的证明，无疑还有遥远的距离。怎么办？来必须要用一种新的方法，有的数学家用起了传统的办法——转化问题。

人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来，成为一种代数几何学的转化，而费尔马问题不过是丢番图方程的一个特例。在黎曼的工作基础上，1922年，英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想。："设F（x，y）是两个变数x、y的有理系数多项式，那么当曲线F（x，y）= 0的亏格（一种与曲线有关的量）大于1时，方程F（x，y）＝0至多只有有限组有理数"。1983年，德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是费尔马大定理证明中的又一次重大突破。法尔廷斯获得了1986年的菲尔兹奖。

维尔斯仍采用代数几何的方法去攀登，他把别人的成果奇妙地联系起来，并且吸取了走过这条道路的攻克者的经验教训，注意到一条崭新迂回的路径：如果谷山——志村猜想成立，那么费尔马大定理一定成立。这是1988年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山——志村于1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的。

维尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，从小对费尔马大定理十分好奇、感兴趣，这条美妙的定理导致他进入了数学的殿堂。大学毕业以后，他开始了幼年的幻想，决心去圆童年的梦。他极其秘密地进行费尔马大定理的研究，守口如瓶，不透半点风声。

穷七年的锲而不舍，直到1993年6月23日。这天，英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。报告人维尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发言。10点30分，在他结束报告时，他平静地宣布："因此，我证明了费尔马大定理"。这句话像一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大厅时鸦雀无声。半分钟后，雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶。英国学者顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢腾着。

消息很快轰动了全世界。各种大众传媒纷纷报道，并称之为"世纪性的成就"。人们认为，维尔斯最终证明了费尔马大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。

可不久，传媒又迅速地报出了一个"爆炸性"新闻：维尔斯的长达200页的论文送交审查时，却被发现证明有漏洞。维尔斯在挫折面前没有止步，他用一年多时间修改论文，补正漏洞。这时他已是"为伊消得人憔悴"，但他"衣带渐宽终不悔"。1994年9月，他重新写出一篇108页的论文，寄往美国。论文顺利通过审查，美国的《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文。维尔斯因此获得了1995～1996年度的沃尔夫数学奖。

经过 300多年的不断奋战，数学家们世代的努力，围绕费尔马大定理作出了许多重大的发现，并促进了一些数学分支的发展，尤其是代数数论的进展。现代代数数论中的核心概念"理想数"，正是为了解决费尔马大定理而提出的。难怪大数学家希尔伯特称赞费尔马大定理是"一只会下金蛋的母鸡"。

费尔马定理的证明

引理：kn+1不是完全乘方数（k为正有理数，n为自然数，n〉2）。

证明：一、当k为正整数时，设kn+1=an则k〈a〈k+1

∴a必为混小数(实际上a是无理数)

∵一个混小数的n次幂仍然是一个混小数

∴an为混小数, 又∵kn为正整数, ∴an – kn为混小数或纯小数

∴an–kn≠1 故an≠kn+1

二、当k为假分数时，设kn+1=an则k〈a〈k+1

∵a≠k ∴ a与k有以下两种情况：

（1）整数部分相同，小数部分不同；（2）整数部分不同，小数部分不同，在以上两种情况下，an与kn的小数部分都不会相同，

∴an–kn为混小数或纯小数，即an–kn≠1故kn+1=an